Решите неравенство √(3x − 1) > 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала находим область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $3x-1\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\ge\frac13$

   Всё дальнейшее рассматриваем только при $x\ge\tfrac13$.

2. 2

   Проверяем, может ли правая часть быть отрицательной. Возведение в квадрат обратимо лишь тогда, когда обе части неотрицательны. На области $x\ge\tfrac13>0$ имеем $2x>0$, значит, обе части положительны, возведение в квадрат равносильно и разбор случаев не нужен.

3. 3

   Возводим обе части в квадрат.

   $3x-1>4x^{2}\quad\Longrightarrow\quad 0>4x^{2}-3x+1$

4. 4

   Проверяем квадратный трёхчлен на отрицательность. Его дискриминант равен

   $(-3)^{2}-4(4)(1)=9-16=-7<0$

   а старший коэффициент $4$ положителен, поэтому $4x^{2}-3x+1>0$ при любом действительном $x$. Значит, требуемое неравенство $4x^{2}-3x+1<0$ решений не имеет вовсе.

5. 5

   Делаем вывод.

   $\boxed{\text{Решений нет: множество решений пусто}}$

6. 6

   Проверяем в нескольких точках и объясняем причину. При $x=\tfrac13$: $\sqrt0=0$ против $\tfrac23$ — левая часть проигрывает. При $x=\tfrac12$: $\sqrt{0.5}=0.707$ против $1$ — проигрывает. При $x=1$: $\sqrt2=1.414$ против $2$ — проигрывает. Прямая $2x$ на всей области определения растёт быстрее, чем $\sqrt{3x-1}$, и, как показывает дискриминант, лежит строго выше даже в точке наибольшего сближения (около $x=\tfrac{25}{48}$, где зазор наименьший, но всё же положителен).