Перемножьте и упростите: (x² − 2x + 1)/(x² + 2x − 3) × (x² + 3x)/(x² + 2x).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разложим все выражения на множители. Если перемножить числители и знаменатели сразу, получится два многочлена четвёртой степени, которые потом придётся снова раскладывать на множители. Сначала разложив на множители, можно упростить выражение за счёт сокращения, пока множители ещё простые.

2. 2

   Разложим четыре квадратных выражения на множители.

   $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2},\qquad x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$

   $x^{2}+3x=x(x+3),\qquad x^{2}+2x=x(x+2)$

3. 3

   Запишем произведение в виде произведения разложенных на множители дробей.

   $\frac{(x-1)^{2}}{(x+3)(x-1)}\cdot\frac{x(x+3)}{x(x+2)}$

4. 4

   Выполним сокращение по всем дробям. В произведении можно сокращать любой множитель числителя с любым множителем знаменателя. Сокращается один $(x-1)$, $(x+3)$ и $x$:

   $\frac{x-1}{1}\cdot\frac{1}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}$

   $\boxed{\dfrac{x-1}{x+2}}$

5. 5

   Запишем значения, при которых выражение не определено. Сокращения допустимы только при ненулевых сокращаемых множителях, поэтому равенство выполняется при $x\neq 0$, $x\neq 1$, $x\neq -3$ и $x\neq -2$. В окончательной дроби явно видно только ограничение $x\neq -2$, остальные три условия нужно сохранить из исходного выражения.

6. 6

   Проверим результат на частном значении. При $x=4$: первая дробь равна $\tfrac{9}{21}=\tfrac37$, вторая — $\tfrac{28}{24}=\tfrac76$, их произведение $\tfrac{3}{6}=\tfrac12$. Упрощённая форма даёт $\tfrac{4-1}{4+2}=\tfrac36=\tfrac12$. Совпадает.