Выразить y через x из уравнения 1/x + 1/y = 8.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений. Поэтому задача состоит не в том, чтобы найти числа, а в том, чтобы выразить $y$ как функцию от $x$ — получится кривая решений, а не точка. Из области определения исключаются $x=0$ и $y=0$.

2. 2

   Приведём левую часть к общему знаменателю.

   $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y+x}{xy}=8$

3. 3

   Избавимся от знаменателя. Умножим обе части на $xy$ (по области определения это не нуль):

   $x+y=8xy$

4. 4

   Соберём слагаемые с $y$ и вынесем его за скобку. Перенесём $y$ вправо и вынесем множитель:

   $x=8xy-y=y(8x-1)$

5. 5

   Разделим и укажем исключения. Деление на $8x-1$ требует условия $8x-1\neq 0$:

   $y=\frac{x}{8x-1},\qquad x\neq 0,\ x\neq\frac{1}{8}$

   Значение $x=\tfrac18$ исключено, потому что тогда уже $\tfrac1x=8$, и остаётся $\tfrac1y=0$, что невозможно.

6. 6

   Проверим две точки на кривой. При $x=1$: $y=\tfrac17$, и $1+7=8$ $\checkmark$. При $x=\tfrac14$: $y=\tfrac{1/4}{1}=\tfrac14$, и $4+4=8$ $\checkmark$.