Упростите (x + 1)(x + 1)(x + 1)(x + 1) − (x + 3)(x + 3)(x + 3)(x + 3) − 272.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем произведения одинаковых множителей как четвёртые степени. В каждом выражении по четыре одинаковых множителя, значит, это степени:

   $(x+1)(x+1)(x+1)(x+1) = (x+1)^4,\qquad (x+3)(x+3)(x+3)(x+3) = (x+3)^4$

2. 2

   Раскроем скобки по биному Ньютона. Коэффициенты бинома: $1, 4, 6, 4, 1$:

   $(x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$

   $(x+3)^4 = x^4 + 4(3)x^3 + 6(9)x^2 + 4(27)x + 81 = x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$

   Степени тройки быстро увеличиваются — $3, 9, 27, 81$ — здесь часто допускаются арифметические ошибки.

3. 3

   Выполним почленное вычитание, распределяя минус на весь второй многочлен.

   $x^4 - x^4 = 0,\quad 4x^3 - 12x^3 = -8x^3,\quad 6x^2 - 54x^2 = -48x^2,\quad 4x - 108x = -104x$

   Главные члены $x^4$ всегда сокращаются при вычитании двух четвёртых степеней с коэффициентом $1$, поэтому итоговый многочлен становится кубическим.

4. 4

   Учтём свободные члены, включая $-272$.

   $1 - 81 - 272 = -352$

   Таким образом, упрощённое выражение:

   $-8x^3 - 48x^2 - 104x - 352$

5. 5

   Вынесем общий множитель $-8$ и проверим результат. Все коэффициенты делятся на $8$:

   $-8\left(x^3 + 6x^2 + 13x + 44\right)$

   Проверим при $x=0$: исходное выражение $1 - 81 - 272 = -352$, упрощённое тоже даёт $-352\;\checkmark$. При $x=1$: $16 - 256 - 272 = -512$, а $-8 - 48 - 104 - 352 = -512\;\checkmark$. Кубический многочлен не имеет рациональных корней среди делителей $44$, поэтому дальше по целым числам не раскладывается.