Решить уравнение x² − 4x + 3 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Прежде чем брать формулу корней, попробуем разложить на множители. Для приведённого квадратного трёхчлена ищем два числа, произведение которых равно свободному члену $3$, а сумма — среднему коэффициенту $-4$. Знаки задают направление поиска: положительное произведение при отрицательной сумме означает, что оба числа отрицательны.

2. 2

   Найдём пару. Единственная пара отрицательных делителей числа $3$ — это $(-1,-3)$, и она подходит:

   $(-1)(-3)=3\ \checkmark\qquad -1+(-3)=-4\ \checkmark$

   поэтому

   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

3. 3

   Воспользуемся условием равенства произведения нулю. Произведение двух действительных чисел равно нулю, только если хотя бы один множитель равен нулю:

   $(x-1)(x-3)=0\qquad\Longrightarrow\qquad x-1=0\ \text{ или }\ x-3=0$

   Этот шаг верен только потому, что справа стоит $0$, — именно поэтому сначала всё переносят в одну часть.

4. 4

   Решим каждое уравнение-множитель.

   $x=1\qquad\text{или}\qquad x=3$

5. 5

   Проверим оба корня. При $x=1$: $1-4+3=0$ ✓. При $x=3$: $9-12+3=0$ ✓. Теорема Виета тоже сходится: сумма корней равна $4=-b/a$, произведение равно $3=c/a$ ✓.

6. 6

   Посмотрим на график. Парабола направлена ветвями вверх и пересекает ось в точках $1$ и $3$, поэтому её вершина находится в середине, при $x=2$, где $y=4-8+3=-1$ — это минимальное значение. Отсюда же видно, что $x^2-4x+3<0$ в точности на промежутке $(1,3)$.