Решите неравенство x² - 2x > 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим все в одну часть. Анализ знаков возможен только при сравнении выражения с нулём:

   $x^2-2x-3>0$

2. 2

   Раскладываем квадратный трёхчлен на множители. Подбираются числа, произведение которых $-3$, а сумма $-2$: это $-3$ и $1$:

   $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)>0$

3. 3

   Находим критические точки. Множители обращаются в ноль при $x=3$ и $x=-1$, что делит числовую прямую на три промежутка: $(-\infty,-1)$, $(-1,3)$ и $(3,\infty)$.

4. 4

   Определяем знак на каждом промежутке. Для $x<-1$ оба множителя отрицательны, значит, произведение положительно; между корнями множители разного знака — произведение отрицательно; при $x>3$ оба множителя положительны. То же видно по графику: ветви параболы направлены вверх, и она выше оси вне своих корней.

5. 5

   Записываем ответ и проверяем. Требуется положительное произведение, значит:

   $x<-1\quad\text{или}\quad x>3,\qquad\text{т.е. }(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$

   Проверим: $x=-2$: $4+4=8>3$ $\checkmark$. $x=0$: $0>3$ — неверно $\checkmark$. $x=4$: $16-8=8>3$ $\checkmark$. Концы промежутков не включаются, так как при них $x^2-2x=3$.