Разделите x³ + 3x² − 6x − 8 на x − 1 по схеме Горнера. Укажите частное и остаток и выясните, является ли x − 1 множителем.

Step-by-step solution

1. 1

   Готовим схему с $c=1$. Из записи $x-1=x-(1)$ угловое число равно $c=1$, а строка коэффициентов такова:

   $1,\;3,\;-6,\;-8$

   До деления предскажем остаток по теореме Безу: $f(1)=1+3-6-8=-10$. Зная ответ заранее, мы превращаем таблицу в проверку, а не в прыжок в неизвестность.

2. 2

   Выполняем проход «умножить и прибавить». При $c=1$ умножения тривиальны, поэтому на этом примере особенно хорошо виден сам механизм:

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 1 & 3 & -6 & -8\\ & & 1 & 4 & -2\\ \hline & 1 & 4 & -2 & -10\end{array}$

   Сносим $1$; далее $1\cdot 1=1$ и $3+1=4$; затем $4\cdot 1=4$ и $-6+4=-2$; наконец $-2\cdot 1=-2$ и $-8+(-2)=-10$.

3. 3

   Делим нижнюю строку на частное и остаток. Последнее число $-10$ — остаток; первые три — коэффициенты частного второй степени:

   $\text{частное}=x^2+4x-2,\qquad \text{остаток}=-10$

   Это совпадает с предсказанным $f(1)=-10$, значит арифметика верна.

4. 4

   Записываем результат деления. Любое деление многочленов можно оформить двумя равносильными способами — смешанным выражением или тождеством «произведение плюс остаток»:

   $\frac{x^3+3x^2-6x-8}{x-1}=x^2+4x-2-\frac{10}{x-1}$

   $x^3+3x^2-6x-8=(x-1)(x^2+4x-2)-10$

   Проверять удобнее вторую форму: в ней нет дробей.

5. 5

   Отвечаем на вопрос о множителе и подтверждаем вычисления. Остаток равен $-10\ne 0$, поэтому по теореме Безу $x-1$ не является множителем, а $x=1$ — не корень. Раскрытие скобок подтверждает оба числа:

   $(x-1)(x^2+4x-2)=x^3+4x^2-2x-x^2-4x+2=x^3+3x^2-6x+2$

   и $x^3+3x^2-6x+2-10=x^3+3x^2-6x-8\;\checkmark$. Если бы понадобились сами корни, стоило бы перебирать делители числа $8$; здесь же $f(1)\ne 0$ просто исключает $x=1$.