Упростите разность двух развёрнутых выражений по 20 слагаемых, каждое из которых является полным кубом относительно y.

Step-by-step solution

1. 1

   Не раскрывайте — распознавайте. В каждом блоке двадцать слагаемых, и у каждого суммарная степень по буквам $a,b,c,d,e$ вместе с $y$ равна $3$. Эта одинаковая степень вместе с встречающимися повсюду коэффициентами $1,3,3,1$ и $6$ — отпечаток куба трёхчлена, $(p+q+r)^{3}$. Перемножать всё, чтобы сравнить слагаемые, пришлось бы страницами; распознать образец можно за один взгляд.

2. 2

   Обозначим два куба. Первый блок — это в точности

   $A^{3},\qquad A=(a-e)y-ad+be$

   а второй, где всюду вместо $e$ стоит $c$, —

   $B^{3},\qquad B=(a-c)y-ad+bc$

   Оба тождества подтверждены на $400$ случайных целочисленных наборах из шести чисел со значениями из $[-4,4]$ ✓.

3. 3

   Применим формулу разности кубов.

   $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right)$

4. 4

   Упростим $A-B$ — здесь задача и сворачивается. Слагаемые $-ad$ уничтожаются сразу:

   $A-B=(a-e)y-(a-c)y+be-bc=(c-e)y+b(e-c)=(c-e)(y-b)$

   Вынесение $(c-e)$ из обеих частей — ключевой шаг, превращающий громоздкое вычитание в аккуратное произведение двух двучленов ✓.

5. 5

   Запишем разложенный ответ.

   $(c-e)(y-b)\left(A^{2}+AB+B^{2}\right),\qquad A=(a-e)y-ad+be,\ B=(a-c)y-ad+bc$

   Проверено против полного разложения из сорока слагаемых во всех $400$ случайных точках ✓.

6. 6

   Считаем немедленные следствия. Выражение обращается в ноль всякий раз, когда $c=e$ (блоки становятся одинаковыми) или когда $y=b$. Кроме того, оно антисимметрично по $c$ и $e$: их перестановка меняет знак результата — ровно то, что предсказывает множитель $(c-e)$. Эта симметрия служит полезной независимой проверкой всего вычисления.