Частное (x⁴ + 5x³ − 3x − 15) и (x³ − 3) — это многочлен. Чему равно частное?

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним степени до деления. У делимого степень $4$, у делителя — $3$, значит, степень частного равна $4-3=1$. Любой ответ степени $7$ (который получился бы при умножении, а не делении) сразу исключается.

2. 2

   Делим старшие члены. $\frac{x^4}{x^3}=x$, значит, первый член частного — $x$. Перемножим обратно: $x(x^3-3)=x^4-3x$.

3. 3

   Вычтем и перенесём. $(x^4+5x^3+0x^2-3x-15)-(x^4-3x)=5x^3+0x^2+0x-15$. Два слагаемых $-3x$ взаимно уничтожаются — это признак, что деление завершится нацело.

4. 4

   Делим снова. $\frac{5x^3}{x^3}=5$, и $5(x^3-3)=5x^3-15$. После вычитания остаётся $0$, значит, остаток равен нулю, а частное — $x+5$.

5. 5

   Проверим разложением на множители по группам. $x^4+5x^3-3x-15=x^3(x+5)-3(x+5)=(x+5)(x^3-3)$. Сокращая общий множитель $x^3-3$, сразу получаем частное $x+5$, что совпадает с результатом деления столбиком.

6. 6

   Проверим численно при $x=2$. Значение делимого: $16+40-6-15=35$, делителя: $8-3=5$; $35\div 5=7$, а частное $x+5$ при $x=2$ также даёт $7$.