Решите уравнение: (2/5)x + 1014 + 4/5 = (5/9)x + 1019 + 4/9.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала объединим целую и дробную части в каждом выражении. В левой части — целое число и правильная дробь, которые складываются в смешанное число:

   $1014+\frac45=1014\tfrac45=\frac{5074}{5},\qquad 1019+\frac49=1019\tfrac49=\frac{9175}{9}.$

   Преобразование сразу в неправильные дроби позволяет далее работать только с дробями, не отвлекаясь на смешанные числа.

2. 2

   Перенесём все слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Вычтем $\tfrac25x$ и $\tfrac{9175}{9}$ из обеих частей:

   $\frac{5074}{5}-\frac{9175}{9}=\left(\frac59-\frac25\right)x.$

   Удобнее переносить меньший коэффициент $\tfrac25$, чтобы коэффициент при $x$ остался положительным и не пришлось менять знак позже.

3. 3

   Вычислим коэффициент при $x$. Приведём к общему знаменателю $45$:

   $\frac59-\frac25=\frac{25}{45}-\frac{18}{45}=\frac{7}{45}.$

   Знаменатели $5$ и $9$ взаимно просты, поэтому $45$ — наименьший общий знаменатель для всего уравнения; он же появится и в левой части.

4. 4

   Вычислим разность постоянных слагаемых. Также приведём к знаменателю $45$:

   $\frac{5074}{5}-\frac{9175}{9}=\frac{5074\cdot9-9175\cdot5}{45}=\frac{45666-45875}{45}=\frac{-209}{45}.$

   Промежуточные вычисления стоит проверить: $5074\times9=45666$, $9175\times5=45875$.

5. 5

   Решим уравнение и проверим точность. Получено $\frac{-209}{45}=\frac{7}{45}x$. Умножим обе части на $45$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $-209=7x\;\Longrightarrow\;x=-\frac{209}{7}\approx-29.857.$

   Число $209=11\times19$, дробь не сокращается. Подставляя обратно точное значение, обе части дают $\frac{7020}{7}$ — проверка верна.