Решите систему 1/x + 1/y = −1 и 3/x − 2/y = 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём новые переменные вместо обратных величин. Если просто избавиться от знаменателей, появятся квадратичные перекрёстные слагаемые $xy$. Вместо этого положим

   $a = \frac{1}{x}, \qquad b = \frac{1}{y}$

   Система становится полностью линейной:

   $a + b = -1, \qquad 3a - 2b = 7$

   Числа $x$ и $y$ и так обязаны быть отличны от нуля, иначе исходные уравнения не имеют смысла, поэтому ничего не теряется.

2. 2

   Исключим одно неизвестное. Из первого уравнения $a = -1 - b$. Подставим во второе:

   $3(-1 - b) - 2b = 7 \quad\Longrightarrow\quad -3 - 5b = 7 \quad\Longrightarrow\quad b = -2$

3. 3

   Найдём a обратной подстановкой.

   $a = -1 - (-2) = 1$

4. 4

   Вернёмся к исходным переменным. Из $a = \tfrac1x = 1$ получаем $x = 1$, а из $b = \tfrac1y = -2$ получаем

   $y = -\frac{1}{2}$

   Оба значения отличны от нуля, значит, оба допустимы.

5. 5

   Проверим в исходных уравнениях. $\tfrac{1}{1} + \tfrac{1}{-1/2} = 1 - 2 = -1$ и $\tfrac{3}{1} - \tfrac{2}{-1/2} = 3 + 4 = 7$. Оба равенства выполняются точно.