Решить уравнение −t² − 6t + 28 = 0 относительно t при условии, что t положительно.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавимся от отрицательного старшего коэффициента. Умножение уравнения на $-1$ никак не меняет множество его решений (в отличие от неравенства), зато все дальнейшие знаки становятся проще:

   $-t^2-6t+28=0\quad\Longleftrightarrow\quad t^2+6t-28=0$

2. 2

   Вычислим дискриминант. При $a=1$, $b=6$, $c=-28$

   $\Delta=6^2-4(1)(-28)=36+112=148$

   Так как $\Delta>0$, действительных корней два и они различны, а поскольку $148=4\cdot 37$ не является полным квадратом, корни будут иррациональными.

3. 3

   Упростим корень до деления.

   $\sqrt{148}=\sqrt{4\cdot 37}=2\sqrt{37}$

   Именно вынесение множителя $2$ на этом шаге позволит формуле красиво сократиться на следующем.

4. 4

   Применим формулу корней и сократим.

   $t=\frac{-6\pm 2\sqrt{37}}{2}=-3\pm\sqrt{37}$

   На $2$ делятся и $-6$, и $2\sqrt{37}$ — деление лишь одного из слагаемых и есть типичная ошибка.

5. 5

   Отберём корень по условию $t>0$. Так как $\sqrt{37}\approx 6.0828$:

   $-3+\sqrt{37}\approx 3.0828>0,\qquad -3-\sqrt{37}\approx -9.0828<0$

   Годится только первый. (Теорема Виета подтверждает: произведение корней равно $-28<0$, значит положительный корень ровно один.)

6. 6

   Проверим. При $t=-3+\sqrt{37}$ имеем $t^2=9-6\sqrt{37}+37=46-6\sqrt{37}$, поэтому

   $-t^2-6t+28=-46+6\sqrt{37}+18-6\sqrt{37}+28=0$

   точно, что подтверждает $t=-3+\sqrt{37}\approx 3.0828$.