Решите уравнение 0,2 · 0,2 · x⁶ + (1 + 0,2 · 0,2) x⁴ + x² − 4 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Упростим десятичные коэффициенты. Так как $0.2\times 0.2=0.04$ и $1+0.04=1.04$, уравнение принимает вид

   $0.04x^{6}+1.04x^{4}+x^{2}-4=0$

2. 2

   Избавимся от десятичных дробей умножением на 25. Ведь $25\times 0.04=1$ и $25\times 1.04=26$:

   $x^{6}+26x^{4}+25x^{2}-100=0$

   Работа с целыми коэффициентами снимает риск накопления погрешности при последующем численном поиске корня.

3. 3

   Сделаем замену $y=x^{2}$ — в уравнении только чётные степени. Так как $x^{6}=y^{3}$ и $x^{4}=y^{2}$:

   $y^{3}+26y^{2}+25y-100=0$

   Степень падает с шестой до третьей, и, что принципиально, $y=x^{2}\ge 0$, поэтому действительные $x$ дают только неотрицательные корни $y$.

4. 4

   Проверим рациональные корни, затем перейдём к численному методу. Кандидаты $\pm1,\pm2,\pm4,\pm5,\pm10,\pm20,\pm25,\pm50,\pm100$ не подходят: например, при $y=1$ получаем $-48$, а при $y=2$ уже $+62$. Смена знака между $1$ и $2$ и указывает на единственный положительный корень, который придётся искать численно.

5. 5

   Найдём положительный корень с высокой точностью. Итерации Ньютона для $f(y)=y^{3}+26y^{2}+25y-100$ со стартом $y=1.5$ сходятся к

   $y=1.5056857750$

   Проверка здесь важна: $f(1.5056858)=0.0000027$, тогда как близкое, но неверное значение $y=1.417075$ даёт $f=-9.5$ — совсем не нуль. Два других корня, $y\approx-2.6747$ и $y\approx-24.8310$, отрицательны и действительных $x$ не дают.

6. 6

   Вернёмся к $x$. Из $x^{2}=1.5056857750$ получаем

   $x=\pm\sqrt{1.5056857750}=\pm 1.2270638838$

   Подстановка обратно: $0.04(1.22706)^{6}+1.04(1.22706)^{4}+(1.22706)^{2}-4=-0.000042$ ✓. У уравнения шестой степени ровно два действительных корня и четыре комплексных.