Решить уравнение 2x + 2λx + μ = 0 относительно x, считая λ и μ параметрами.

Step-by-step solution

1. 1

   Собираем слагаемые с $x$ и выносим общий множитель. В обоих переменных слагаемых есть множитель $2x$:

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)\quad\Longrightarrow\quad 2x(1+\lambda)+\mu=0$

2. 2

   Оставляем произведение в одной части. Вычитаем $\mu$:

   $2x(1+\lambda)=-\mu$

3. 3

   Делим только тогда, когда коэффициент отличен от нуля. Деление на $2(1+\lambda)$ возможно лишь при $1+\lambda\neq 0$:

   $x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)},\qquad\lambda\neq-1$

   Деление без этой проверки — та самая ошибка, из-за которой теряется вся вторая половина ответа.

4. 4

   Разбираем вырожденный случай $\lambda=-1$. Тогда коэффициент при $x$ равен нулю и $x$ исчезает совсем:

   $2x-2x+\mu=0\quad\Longrightarrow\quad\mu=0$

   Значит, при $\mu=0$ уравнение превращается в $0=0$ и решением служит любое действительное $x$; при $\mu\neq 0$ получается противоречие и решений нет.

5. 5

   Проверяем общую формулу численно. Возьмём $\lambda=2$, $\mu=-1$: тогда $x=\tfrac{1}{6}$, и $2\left(\tfrac16\right)+4\left(\tfrac16\right)-1=\tfrac13+\tfrac23-1=0$ $\checkmark$. Возьмём $\lambda=0$, $\mu=3$: $x=-\tfrac32$, и $-3+0+3=0$ $\checkmark$.