Разложите (x - 2/√x)^4.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем схему бинома. Для четвёртой степени коэффициенты берутся из пятой строки треугольника Паскаля: $1,4,6,4,1$, знаки чередуются, так как второй член вычитается:

   $(A-B)^4=A^4-4A^3B+6A^2B^2-4AB^3+B^4$

   Положим $A=x$, $B=\dfrac{2}{\sqrt{x}}=2x^{-1/2}$. Переписывание $B$ с дробной степенью заранее облегчает вычисления.

2. 2

   Проследим, как меняются показатели. В каждом следующем слагаемом одна степень $A$ (то есть $+1$) заменяется на одну степень $B$ (то есть $-\tfrac12$), поэтому показатель уменьшается на $\tfrac32$: $4,\ \tfrac52,\ 1,\ -\tfrac12,\ -2$. Это позволяет избежать ошибок при вычислениях.

3. 3

   Вычислим первые три члена.

   $A^4=x^4$

   $-4A^3B=-4x^3\cdot2x^{-1/2}=-8x^{5/2}$

   $6A^2B^2=6x^2\cdot\frac{4}{x}=24x$

   В третьем слагаемом корень полностью исчезает, так как $B^2=4x^{-1}$.

4. 4

   Вычислим два последних члена.

   $-4AB^3=-4x\cdot\frac{8}{x^{3/2}}=-32x^{-1/2}=-\frac{32}{\sqrt{x}}$

   $B^4=\left(2x^{-1/2}\right)^4=\frac{16}{x^2}$

5. 5

   Соберём разложение.

   $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^4=x^4-8x^{5/2}+24x-\frac{32}{\sqrt{x}}+\frac{16}{x^2}$

   Область определения — $x>0$, так как $\sqrt{x}$ стоит в знаменателе.

6. 6

   Проверим численно на нескольких значениях x. При $x=1$ исходное выражение и разложение дают $1$; при $x=0.3$ — $126.1678$; при $x=2.7$ — $4.83477$; при $x=5.5$ — $466.40627$. Совпадение на четырёх разных точках, включая $x<1$, подтверждает правильность всех коэффициентов и показателей.