Решите уравнение 5^(x+2) = 3^(5−x) относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, почему без логарифмов не обойтись. Основания $5$ и $3$ не имеют общей степени, поэтому просто приравнять показатели нельзя. Стандартный ход — взять логарифм от обеих частей, причём подойдёт любое основание, ведь из итогового отношения оно сократится.

2. 2

   Логарифмируем и опускаем показатели вниз. Пользуемся свойством $\ln(A^k)=k\ln A$:

   $(x+2)\ln5=(5-x)\ln3$

   Теперь уравнение линейно относительно $x$, а $\ln5$ и $\ln3$ работают как обычные постоянные.

3. 3

   Раскрываем скобки и собираем члены с x.

   $x\ln5+2\ln5=5\ln3-x\ln3\qquad\Longrightarrow\qquad x\ln5+x\ln3=5\ln3-2\ln5$

   Оба члена с $x$ переносим влево — так коэффициент остаётся положительным.

4. 4

   Выносим за скобку и применяем логарифм произведения.

   $x(\ln5+\ln3)=5\ln3-2\ln5$

   Поскольку $\ln5+\ln3=\ln(5\cdot3)=\ln15$, это упрощается до

   $x=\frac{5\ln3-2\ln5}{\ln15}$

5. 5

   Вычисляем и исправляем широко растиражированное неверное значение. При $\ln3=1.098612$, $\ln5=1.609438$ и $\ln15=2.708050$:

   $x=\frac{5(1.098612)-2(1.609438)}{2.708050}=\frac{5.493060-3.218876}{2.708050}=\frac{2.274184}{2.708050}=0.839787$

   Значит, $x\approx0.8398$. Для этого уравнения иногда приводят ответ $1.037$, но он неверен — см. проверку ниже.

6. 6

   Проверяем подстановкой. При $x=0.8397871$: $5^{x+2}=5^{2.8397871}=96.5886$ и $3^{5-x}=3^{4.1602129}=96.5886$ — совпадают до семи значащих цифр ✓. А неверное $x=1.037$ даёт $5^{3.037}=132.67$ против $3^{3.963}=77.77$, что и близко не равно ✗.