Решите уравнение x⁵ + 30x⁴ + 75x³ − 3250x² − 15000x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Выносим очевидный общий множитель. Каждое слагаемое содержит $x$:

   $x\left(x^4+30x^3+75x^2-3250x-15000\right)=0$

   значит, $x=0$ — корень сразу, а дальше остаётся уравнение четвёртой степени.

2. 2

   Перебираем делители числа 15000 в поисках целого корня. Подставим $x=10$ в многочлен четвёртой степени:

   $10000+30000+7500-32500-15000=0\;\checkmark$

   значит, $(x-10)$ — множитель. Такая подстановка обходится дёшево и решает вопрос окончательно, а вот угадывание больших корней вроде $\pm 25$ без проверки — как раз то, из-за чего в задачниках появляются неверные разложения.

3. 3

   Делим и продолжаем раскладывать. Деление многочлена четвёртой степени на $x-10$ по схеме Горнера оставляет

   $x^3+40x^2+475x+1500$

   а $x=-5$ обращает этот кубический многочлен в нуль: $-125+1000-2375+1500=0\;\checkmark$. Разделив ещё раз на $x+5$, получаем квадратный трёхчлен

   $x^2+35x+300$

4. 4

   Раскладываем последний квадратный трёхчлен. Два числа с произведением $300$ и суммой $35$ — это $15$ и $20$:

   $x^2+35x+300=(x+15)(x+20)$

   так что полное разложение имеет вид

   $x^5+30x^4+75x^3-3250x^2-15000x=x(x-10)(x+5)(x+15)(x+20)$

5. 5

   Выписываем корни и проверяем их все.

   $x=0,\;10,\;-5,\;-15,\;-20$

   Набор подтверждают две независимые проверки. По теореме Виета сумма корней обязана равняться $-30$, и действительно $0+10-5-15-20=-30\;\checkmark$. Произведение четырёх ненулевых корней обязано равняться свободному члену $-15000$ многочлена четвёртой степени, и $10\cdot(-5)\cdot(-15)\cdot(-20)=-15000\;\checkmark$. Численное решение уравнения пятой степени тоже возвращает ровно $10,-20,-15,-5,0$.