Упростите: 9 × (m + n)² минус (m − n)².

Step-by-step solution

1. 1

   Замечается, что оба слагаемых — полные квадраты. Так как $9=3^2$,

   $9(m+n)^2=\bigl[3(m+n)\bigr]^2=(3m+3n)^2$

   Таким образом, выражение имеет вид $A^2-B^2$, где $A=3m+3n$, $B=m-n$. Это позволяет не раскрывать скобки и не собирать заново разность квадратов.

2. 2

   Применяется формула $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$.

   $(3m+3n-(m-n))\bigl(3m+3n+(m-n)\bigr)=(2m+4n)(4m+2n)$

   В первой скобке оба знака у $B$ меняются: $3n-(-n)=4n$.

3. 3

   Выносятся числовые множители за скобки.

   $(2m+4n)(4m+2n)=2(m+2n)\cdot 2(2m+n)=4(m+2n)(2m+n)$

4. 4

   Проверяется раскрытием исходного выражения.

   $9\left(m^2+2mn+n^2\right)-\left(m^2-2mn+n^2\right)=9m^2+18mn+9n^2-m^2+2mn-n^2$

   Собирается $8m^2+20mn+8n^2$. Обратите внимание, что средние члены складываются ($18mn+2mn$), так как минус перед скобкой меняет знак у $-2mn$.

5. 5

   Проверяется совпадение двух форм.

   $4(m+2n)(2m+n)=4\left(2m^2+5mn+2n^2\right)=8m^2+20mn+8n^2$ ✓

6. 6

   Числовая проверка. При $m=2$, $n=1$: исходное выражение $9(9)-1=80$; раскрытое $32+40+8=80$; разложенное $4(4)(5)=80$. Все три результата совпадают.