Решите неравенство 6p⁵ − 15p⁴ + 10p³ < p.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в одну часть и выносим $p$ за скобку.

   $6p^5-15p^4+10p^3-p<0\quad\Rightarrow\quad p\left(6p^4-15p^3+10p^2-1\right)<0$

   Именно сравнение единого выражения с нулём и делает возможным метод интервалов.

2. 2

   Ищем рациональные корни многочлена четвёртой степени. Перебираем кандидатов по теореме о рациональных корнях: при $p=1$ получаем $6-15+10-1=0$, а при $p=\tfrac12$ — $\tfrac38-\tfrac{15}8+\tfrac52-1=0$. Значит $(p-1)$ и $(2p-1)$ — множители. Разделив на них, получаем

   $6p^4-15p^3+10p^2-1=(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)$

   (Старшие коэффициенты: $1\cdot 2\cdot 3=6$ ✓, свободные члены: $(-1)(-1)(-1)=-1$ ✓.)

3. 3

   Доводим разложение до конца и выписываем критические точки.

   $p(p-1)(2p-1)\left(3p^2-3p-1\right)<0$

   Последний множитель имеет корни $p=\frac{3\pm\sqrt{21}}{6}$, то есть $-0.26376$ и $1.26376$. В порядке возрастания пять простых корней таковы:

   $-0.26376,\quad 0,\quad 0.5,\quad 1,\quad 1.26376$

4. 4

   Строим таблицу знаков, подставляя по одной точке из каждого промежутка. Подставляем в исходное неравенство разность $\text{левая часть}-\text{правая часть}$:

   $p=-1:\ -30\ (<0)\quad p=-0.2:\ +0.094\quad p=0.25:\ -0.1465\ (<0)$
   $p=0.75:\ +0.1465\quad p=1.1:\ -0.0884\ (<0)\quad p=2:\ +30$

   Все пять корней простые, поэтому знаки чередуются; а старший коэффициент $6>0$ при нечётной степени $5$ делает выражение положительным далеко справа, и это закрепляет всю картину.

5. 5

   Считываем ответ. Выражение отрицательно на трёх промежутках:

   $p<\frac{3-\sqrt{21}}{6},\qquad 0<p<\frac12,\qquad 1<p<\frac{3+\sqrt{21}}{6}$

   Осторожно: таблица знаков, начатая не с того конца, даёт ровно дополнение к этому множеству — ошибка частая, но и ловится легко, ведь при $p=2$ неравенство обязано не выполняться ($192-240+80=32$, а $32<2$ неверно), тогда как при $p=0.25$ оно обязано выполняться ($0.1035<0.25$ ✓).

6. 6

   Убеждаемся, что концы промежутков исключены. В каждой из пяти критических точек обе части равны, а неравенство строгое, поэтому ни $\frac{3-\sqrt{21}}{6}$, ни $0$, ни $\frac12$, ни $1$, ни $\frac{3+\sqrt{21}}{6}$ в множество решений не входят.