Упростите: 6x умножить на (x−y) в квадрате плюс 3 умножить на (y−x) в кубе.

Step-by-step solution

1. 1

   Связь между скобками. Замечается, что $y-x=-(x-y)$. Это важно, поскольку возведение в степень по-разному влияет на знак в зависимости от чётности степени:

   $(y-x)^2=(x-y)^2\quad\text{а вот}\quad (y-x)^3=-(x-y)^3$

   Чётная степень «поглощает» минус, а нечётная — сохраняет.

2. 2

   Перепишем всё через $(x-y)$. Подставляя равенство для куба, получаем:

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=6x(x-y)^2-3(x-y)^3$

   Теперь оба слагаемых выражены через одну и ту же скобку, что позволяет вынести общий множитель.

3. 3

   Находим и выносим общий множитель. Коэффициенты $6$ и $3$ имеют общий множитель $3$, а наименьшая степень скобки — $(x-y)^2$, значит, общий множитель — $3(x-y)^2$:

   $6x(x-y)^2-3(x-y)^3=3(x-y)^2\bigl[2x-(x-y)\bigr]$

4. 4

   Упрощаем выражение в скобках.

   $2x-(x-y)=2x-x+y=x+y$

   Важно правильно раскрыть скобки: оба знака внутри меняются. Ошибкой было бы записать $2x-x-y=x-y$.

5. 5

   Записываем ответ и проверяем.

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=3(x-y)^2(x+y)$

   Проверим при $x=3$, $y=1$: исходное выражение $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=72-24=48$, а в факторизованном виде $3(x-y)^2(x+y)=48$ — совпадает.