Решите уравнение (2x − 3)² − (x − 1)² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим структуру разности квадратов. Оба слагаемых уже являются полными квадратами линейных выражений, поэтому

   $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) \qquad \text{где } A = 2x - 3, \ B = x - 1$

   Раскрывать скобки не нужно: уравнение раскладывается на множители сразу.

2. 2

   Составим первый множитель, аккуратно раскрыв минус.

   $A - B = (2x - 3) - (x - 1) = 2x - 3 - x + 1 = x - 2$

   Вычитание $-1$ превращается в $+1$; потеря этой смены знака — самая частая ошибка, она дала бы $x - 4$.

3. 3

   Составим второй множитель.

   $A + B = (2x - 3) + (x - 1) = 3x - 4$

   Уравнение принимает вид

   $(x - 2)(3x - 4) = 0$

4. 4

   Решим каждое линейное уравнение.

   $x - 2 = 0 \ \Rightarrow \ x = 2, \qquad 3x - 4 = 0 \ \Rightarrow \ x = \frac{4}{3}$

5. 5

   Проверим оба корня. При $x = 2$: $(4-3)^2 - (2-1)^2 = 1 - 1 = 0 \ \checkmark$. При $x = \tfrac43$: $\left(\tfrac83 - 3\right)^2 - \left(\tfrac43 - 1\right)^2 = \tfrac19 - \tfrac19 = 0 \ \checkmark$. Геометрически равенство $(2x-3)^2 = (x-1)^2$ означает $|2x-3| = |x-1|$, и два корня — это в точности случаи $2x - 3 = x - 1$ и $2x - 3 = -(x-1)$.