Разложить x⁴ + x² − 2a·x + 1 − a² на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем полный квадрат, ориентируясь на крайние слагаемые. Наличие $x^4$ и $+1$ наводит на мысль о квадрате $\left(x^2+1\right)^2=x^4+2x^2+1$. Сравним с данным выражением: в исходном есть только $x^2$, то есть не хватает ещё одного $x^2$, а также присутствуют лишние $-2ax-a^2$.

2. 2

   Выпишем все преобразования подробно:

   $x^4+x^2-2ax+1-a^2=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2-2ax-a^2=\left(x^2+1\right)^2-\left(x^2+2ax+a^2\right)$

   В правой скобке видим полный квадрат: $(x+a)^2$. Значит, всё выражение переписывается так:

   $\left(x^2+1\right)^2-(x+a)^2$

   Это ключевой шаг, показывающий, что утверждение «для произвольного $a$ выражение не раскладывается красиво» неверно.

3. 3

   Применим формулу разности квадратов. Обозначим $A=x^2+1$, $B=x+a$:

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)=\left(x^2+1-x-a\right)\left(x^2+1+x+a\right)$

4. 4

   Упрощаем каждую скобку:

   $\left(x^2-x+1-a\right)\left(x^2+x+1+a\right)$

   Обе скобки — квадратные трёхчлены по $x$, параметр $a$ входит только в свободный член.

5. 5

   Проверим раскрытием скобок. При перемножении $x^3$ взаимно уничтожаются ($-x^3+x^3$), $x^2$ дают $x^2+x^2-x^2=x^2$ после учёта перекрёстных членов, $x$ сводится к $-2ax$, а свободные члены дают $(1-a)(1+a)=1-a^2$ — полностью совпадает с исходным выражением. Проверка на случайных числах ($x=1{,}5$, $a=0{,}7$) также подтверждает равенство.

6. 6

   Проверим частный случай $a=0$. Тогда разложение принимает вид

   $\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)=x^4+x^2+1$

   Это известная формула — и действительно, если в исходном выражении подставить $a=0$, получаем $x^4+x^2+1$ ✓.