Для положительных чисел a, b и c найти наименьшее значение P = (a/(a+b))⁴ + (b/(b+c))⁴ + (c/(c+a))⁴.

Step-by-step solution

1. 1

   Введём новые переменные для удобства. Обозначим $u=\dfrac{b}{a}$, $v=\dfrac{c}{b}$, $w=\dfrac{a}{c}$, тогда $uvw=1$ автоматически. Получаем $x=\frac{a}{a+b}=\frac{1}{1+u},\quad y=\frac{1}{1+v},\quad z=\frac{1}{1+w},\qquad P=x^4+y^4+z^4.$

2. 2

   Предположим случай равенства. Если $a=b=c$, то $x=y=z=\tfrac12$ и $P=3\left(\frac12\right)^4=\frac{3}{16}.$ Осталось доказать, что меньше этого значения получить нельзя.

3. 3

   Оценим сумму через сумму квадратов. По неравенству степенных средних для $x^2,y^2,z^2$ имеем: $x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}.$ Значит, достаточно показать, что $x^2+y^2+z^2\ge\tfrac34$. (Попытка оценить $x+y+z\ge\tfrac32$ неверна — например, при $a=1,b=2,c=4$ получаем $1.4667$ — поэтому работать нужно именно с квадратами.)

4. 4

   Используем вспомогательную лемму для двух переменных. Для любых $u,v>0$ выполняется $\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{1}{(1+v)^2}\ge\frac{1}{1+uv},$ поскольку после приведения к общему знаменателю остаётся тождество $(uv-1)^2+uv(u-v)^2\ge 0$.

5. 5

   Применим лемму при $uv=1/w$. По лемме $x^2+y^2\ge\dfrac{1}{1+1/w}=\dfrac{w}{1+w}=1-z$, значит, $x^2+y^2+z^2\ge 1-z+z^2=\left(z-\frac12\right)^2+\frac34\ge\frac34.$

6. 6

   Объединим оценки и завершим рассуждение. Следовательно, $P\ge\frac{(3/4)^2}{3}=\frac{3}{16},$ причём равенство достигается только при $z=\tfrac12$ и $u=v$, то есть $a=b=c$. Проверка по случайным значениям также даёт минимум $0.1875$ при $a:b:c=1:1:1$.