Постройте график f(x) = -|x + 5| - 4. Укажите вершину, направление ветвей, перехваты и область значений.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним с каноническим видом. Сравнивается с $f(x)=a\left|x-h\right|+k$:

   $a=-1,\qquad h=-5\ \ (\text{так как }x+5=x-(-5)),\qquad k=-4$

   Значит, вершина — $(-5,-4)$. Переписывание $x+5$ как $x-(-5)$ помогает избежать ошибки со знаком при определении $h$.

2. 2

   Определим направление и крутизну по $a$. Так как $a=-1<0$, график открывается вниз — получается «галочка» вниз, а поскольку $|a|=1$, наклоны ветвей равны $+1$ (слева от вершины) и $-1$ (справа), то есть такие же, как у $|x|$.

3. 3

   Построим график как последовательность преобразований. Начинается с $y=|x|$: сдвиг влево на $5$ (поскольку $x+5$ обращается в ноль при $x=-5$), отражение относительно оси $x$, затем сдвиг вниз на $4$:

   $|x|\;\to\;|x+5|\;\to\;-|x+5|\;\to\;-|x+5|-4$

4. 4

   Отметим несколько точек по обе стороны от вершины. Используя наклон $\pm 1$ от $(-5,-4)$:

   $f(-7)=-2-4=-6,\quad f(-6)=-1-4=-5,\quad f(-5)=-4,\quad f(-4)=-5,\quad f(-3)=-6$

   Видна симметрия относительно вертикали $x=-5$, что подтверждает правильность сдвига.

5. 5

   Найдём перехваты и область значений. $y$-перехват: $f(0)=-|5|-4=-9$, то есть точка $(0,-9)$. Для $x$-перехватов требуется $-|x+5|-4=0$, то есть $|x+5|=-4$, что невозможно, так как модуль не может быть отрицательным — значит, x-перехватов нет. Наибольшее значение $-4$ достигается в вершине, поэтому область значений:

   $(-\infty,-4]$