Найдите P, если (18m²n − 2mn² + 15mn) − P = 6m²n − 5mn² − 12mn.

Step-by-step solution

1. 1

   Выразим $P$, учитывая, что это вычитаемое. Из $A-P=B$ следует, что $P=A-B$, а не $B-A$:

   $P=\left(18m^2n-2mn^2+15mn\right)-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)$

   Если перепутать порядок, получится противоположный по знаку ответ — это самая частая ошибка в подобных задачах.

2. 2

   Раскроем скобки, поменяв знаки у второго многочлена. Все три знака меняются на противоположные:

   $-\left(6m^2n-5mn^2-12mn\right)=-6m^2n+5mn^2+12mn$

3. 3

   Приведём подобные слагаемые по типу. Три типа: $m^2n$, $mn^2$ и $mn$:

   $m^2n:\;18-6=12,\qquad mn^2:\;-2+5=3,\qquad mn:\;15+12=27$

4. 4

   Запишем окончательный ответ.

   $P=12m^2n+3mn^2+27mn=3mn\left(4m+n+9\right)$

   Факторизация возможна за счёт общего множителя $3mn$ во всех трёх слагаемых.

5. 5

   Проверим на числовом примере. Подставим $m=1$, $n=2$. Первый многочлен: $18(2)-2(4)+15(2)=36-8+30=58$, а

   $P=12(1)(2)+3(1)(4)+27(2)=24+12+54=90$

   (факторизованная форма тоже даёт $3mn(4m+n+9)=3\cdot 2\cdot 15=90$). Тогда левая часть: $58-90=-32$, правая: $6(2)-5(4)-12(2)=12-20-24=-32\;\checkmark$.