Разделить x³ − 7x + 6 на −2x + 1 по схеме Горнера, учитывая, что старший коэффициент делителя не равен 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, почему схема Горнера пока неприменима. Метод рассчитан на делители вида $x-c$, у которых старший коэффициент ровно $1$. Здесь делитель равен $-2x+1$, поэтому сначала вынесем старший коэффициент:

   $-2x+1=-2\left(x-\tfrac{1}{2}\right)$

   В этой перезаписи весь фокус: делим по таблице на приведённую часть $x-\tfrac12$, а множитель $-2$ учитываем потом.

2. 2

   Делим на $x-\tfrac12$ при $c=\tfrac12$. Пропущенный член с $x^2$ дополняем нулём, получая коэффициенты $1,\;0,\;-7,\;6$:

   $\begin{array}{r|rrrr}\tfrac12 & 1 & 0 & -7 & 6\\[2pt] & & \tfrac12 & \tfrac14 & -\tfrac{27}{8}\\ \hline & 1 & \tfrac12 & -\tfrac{27}{4} & \tfrac{21}{8}\end{array}$

   Итак, $x^3-7x+6=\left(x-\tfrac12\right)\left(x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}\right)+\tfrac{21}{8}$, и остаток согласуется со значением $f\!\left(\tfrac12\right)=\tfrac18-\tfrac72+6=\tfrac{21}{8}$.

3. 3

   Делим на $-2$ только частное. Так как $x^3-7x+6=-2\left(x-\tfrac12\right)\cdot Q(x)+R$, частное от деления на $-2x+1$ равно предыдущему частному, делённому на $-2$:

   $Q(x)=\frac{x^2+\tfrac12 x-\tfrac{27}{4}}{-2}=-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}$

   Остаток при этом не меняется. Именно эта асимметрия чаще всего вызывает ошибку: домножение делителя на число обратно масштабирует частное, но не трогает остаток, ведь остаток — константа, привязанная к точке $x=\tfrac12$.

4. 4

   Записываем результат деления и убеждаемся, что остаток допустим. Собирая всё вместе,

   $x^3-7x+6=(-2x+1)\left(-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{4}x+\frac{27}{8}\right)+\frac{21}{8}$

   Остаток $\tfrac{21}{8}$ имеет степень $0$, что ниже степени делителя, поэтому деление завершено.

5. 5

   Проверяем раскрытием скобок. Перемножаем правую часть по слагаемым:

   $(-2x)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=x^3+\tfrac12 x^2-\tfrac{27}{4}x$

   $(1)\left(-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}\right)=-\tfrac12 x^2-\tfrac14 x+\tfrac{27}{8}$

   При сложении слагаемые с $x^2$ уничтожаются, а $-\tfrac{27}{4}x-\tfrac14 x=-7x$, остаётся $x^3-7x+\tfrac{27}{8}$; вместе с остатком $\tfrac{21}{8}$ свободный член даёт $\tfrac{48}{8}=6$. Значит, тождество действительно воспроизводит $x^3-7x+6\;\checkmark$.