Найдите область определения f(x) = 6/(x − 15) + 6/(x + 12), ответ дайте в интервальной записи.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, что может ограничивать область определения. Дана сумма двух рациональных выражений без корней и логарифмов, поэтому единственное ограничение — деление на ноль. Необходимо отдельно проверить каждый знаменатель: если хотя бы один из них обращается в ноль, функция не определена.

2. 2

   Решим уравнения, приравняв каждый знаменатель к нулю.

   $x - 15 = 0 \ \Longrightarrow\ x = 15, \qquad x + 12 = 0 \ \Longrightarrow\ x = -12$

3. 3

   Не будем спешить приводить к общему знаменателю. Если сложить дроби, получится $\dfrac{6(x+12) + 6(x-15)}{(x-15)(x+12)} = \dfrac{12x - 18}{(x-15)(x+12)}$. В новом знаменателе те же самые нули, поэтому область определения не изменится. Однако если бы в числителе что-то сократилось с одним из этих множителей, исходная функция всё равно была бы не определена в этих точках. Ограничения всегда определяются по исходной записи.

4. 4

   Исключим найденные точки из множества действительных чисел. Удаляя $-12$ и $15$ из $\mathbb{R}$, получаем три открытых интервала слева направо:

   $(-\infty,\, -12) \cup (-12,\, 15) \cup (15,\, \infty)$

5. 5

   Проверим по одному значению из каждого интервала. При $x = -20$: $\tfrac{6}{-35} + \tfrac{6}{-8} = -0.9214$, выражение определено. При $x = 0$: $\tfrac{6}{-15} + \tfrac{6}{12} = 0.1$, определено. При $x = 20$: $\tfrac{6}{5} + \tfrac{6}{32} = 1.3875$, определено. В точках $x = 15$ и $x = -12$ функция имеет вертикальные асимптоты.