Решите уравнение x⁸ − 2x⁷ + 3x⁶ − 4x⁵ + 5x⁴ − 4x³ + 3x² − 2x + 2 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Анализ коэффициентов. Рассмотрим последовательность коэффициентов: $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 2$ — почти палиндромная, за исключением последнего числа: вместо ожидаемой $1$ стоит $2$. Палиндромная последовательность степени $8$, например $1, -2, 3, -4, 5, -4, 3, -2, 1$, характерна для квадрата многочлена четвёртой степени. Поэтому сначала выделим этот фрагмент.

2. 2

   Определим квадрат. Возведём в квадрат многочлен $x^4 - x^3 + x^2 - x + 1$ — получаем симметричную последовательность:

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = x^8 - 2x^7 + 3x^6 - 4x^5 + 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

   Сравнивая почленно с данным многочленом, видим совпадение всех коэффициентов, кроме свободного члена: в исходном уравнении он больше на $1$.

3. 3

   Перепишем исходный многочлен. Таким образом,

   $P(x) = \left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 + 1$

   Это тождество полностью раскрывает структуру уравнения — оно сразу показывает отсутствие действительных корней и позволяет описать комплексные.

4. 4

   Делаем вывод об отсутствии действительных решений. Для действительных $x$ квадрат неотрицателен, значит

   $P(x) \ge 0 + 1 = 1 > 0$

   при любом действительном $x$. Следовательно, уравнение $P(x) = 0$ не имеет действительных решений. Минимальное значение $P$ на действительной оси примерно $1{,}4537$ (при $x \approx 0{,}6058$) — что полностью согласуется с тождеством.

5. 5

   Описываем комплексные корни. В поле $\mathbb{C}$ уравнение принимает вид

   $\left(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\right)^2 = -1 \ \Longleftrightarrow \ x^4 - x^3 + x^2 - x + 1 = \pm i$

   Таким образом, все восемь корней разбиваются на два четвёртых уравнения. (Сам многочлен в скобках — циклотомический $\Phi_{10}$, то есть $\frac{x^5+1}{x+1}$.) Приближённые значения корней:

   $x \approx -0{,}4661 \pm 0{,}7670i, \quad -0{,}2913 \pm 1{,}1399i, \quad 0{,}6631 \pm 0{,}8872i, \quad 1{,}0943 \pm 0{,}5143i$

   Все корни действительно комплексные, попарно сопряжённые, как и должно быть для многочлена с действительными коэффициентами.

6. 6

   Что не работает. У данного многочлена нет рациональных корней, и перебор вариантов показывает, что он не разлагается на произведение многочленов меньшей степени с целыми коэффициентами (например, на квадратный и шестистепенной или на два четвёртых). Поэтому разложение в виде «квадрат плюс один» — не один из возможных путей, а единственный.