Решить неравенство (2x−1)(x+1)/(x²+x+2) ≤ 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала рассмотрим знаменатель. Для $x^{2}+x+2$ дискриминант равен

   $\Delta=1^{2}-4(1)(2)=1-8=-7<0,$

   а старший коэффициент положителен, поэтому парабола не пересекает ось абсцисс:

   $x^{2}+x+2>0\quad\text{для всех действительных }x.$

   Этот факт сразу решает большую часть задачи — нет ни выколотых точек, ни смены знака из-за знаменателя.

2. 2

   Переходим к многочленному неравенству. Умножая обе части на строго положительное выражение, знак неравенства сохраняется, поэтому

   $\frac{(2x-1)(x+1)}{x^{2}+x+2}\le0\iff(2x-1)(x+1)\le0.$

   Это равносильно только потому, что знаменатель не меняет знак — именно поэтому сначала проверялся его знак.

3. 3

   Находим критические точки. Приравниваем каждый множитель к нулю:

   $2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac12,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1.$

   В обеих точках числитель обращается в ноль, а знаменатель остаётся отличным от нуля, значит вся дробь равна $0$ — это удовлетворяет $\le0$, поэтому концы включаются в ответ.

4. 4

   Определяем знак квадратичного выражения. Произведение $(2x-1)(x+1)$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому выражение отрицательно между корнями и положительно вне этого промежутка. Проверим на точках: при $x=-2$, $(-5)(-1)=5>0$; при $x=0$, $(-1)(1)=-1<0$; при $x=1$, $(1)(2)=2>0$.

5. 5

   Записываем множество решений. Объединяя отрицательный промежуток и две точки нуля, получаем:

   $x\in\left[-1,\ \tfrac12\right].$

   Проверим подстановкой: при $x=-2$ дробь $\tfrac{5}{4}>0$ (не входит) ✓, при $x=0$ $-\tfrac12<0$ (входит) ✓, при $x=\tfrac12$ $0$ (входит) ✓, при $x=1$ $\tfrac12>0$ (не входит) ✓.