Разделите 2x² − 1 на 2x + 1. Укажите частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Вставим пропущенное слагаемое. Деление в столбик выравнивается по степеням, поэтому делимое записываем со всеми степенями: $2x^2-1=2x^2+0x-1.$ Пропуск этого шага — главный источник ошибок в знаках.

2. 2

   Разделим старшие члены. $\dfrac{2x^2}{2x}=x$, значит первый член частного равен $x$. Умножаем обратно: $x(2x+1)=2x^2+x$, и вычитаем: $(2x^2+0x-1)-(2x^2+x)=-x-1.$

3. 3

   Повторим для нового остатка. $\dfrac{-x}{2x}=-\dfrac12$. Поскольку делитель неприведённый, в частном появляется дробь — это ожидаемо, а не ошибка. Умножаем обратно: $-\tfrac12(2x+1)=-x-\tfrac12$.

4. 4

   Вычтем ещё раз и остановимся. $(-x-1)-\left(-x-\frac12\right)=-\frac12.$ Степень $-\tfrac12$ ниже степени $2x+1$, поэтому деление завершено.

5. 5

   Проверим тождеством деления. $\left(x-\frac12\right)(2x+1)+\left(-\frac12\right)=2x^2+x-x-\frac12-\frac12=2x^2-1,$ то есть исходное делимое.