Разложите выражение (a + x)^{m+1} (b + x)^{n-1} - (a + x)^m (b + x)^n на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Смотрим на показатели степеней, а не на буквы. Оба слагаемых построены из одних и тех же оснований: $(a+x)$ и $(b+x)$. Отличие — только в показателях. В первом слагаемом $(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}$, во втором — $(a+x)^{m}(b+x)^{n}$. Если произведения имеют одинаковые основания, то наибольший общий делитель (НОД) берётся по меньшему показателю для каждого основания — это и есть основной приём, который работает даже при неизвестных $m$ и $n$.

2. 2

   Берём меньший показатель для каждого основания. Для $(a+x)$ показатели $m+1$ и $m$, меньший — $m$. Для $(b+x)$ — $n-1$ и $n$, меньший — $n-1$. Значит,

   $\text{НОД}=(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   Это верно при любых целых $m$ и $n$: важно только, какой из пары меньше.

3. 3

   Делим каждое слагаемое на НОД, используя $x^p/x^q=x^{p-q}$.

   $\frac{(a+x)^{m+1}(b+x)^{n-1}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(a+x)^{1}=a+x$

   $\frac{(a+x)^{m}(b+x)^{n}}{(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}}=(b+x)^{1}=b+x$

   Значит, выражение принимает вид $(a+x)^m(b+x)^{n-1}\left[(a+x)-(b+x)\right]$.

4. 4

   Упрощаем скобку — здесь задача и сводится. Аккуратно раскрываем скобки и минус:

   $(a+x)-(b+x)=a+x-b-x=a-b$

   $\ x$ сокращаются, и в скобке остаётся просто разность $a-b$. Если не раскрыть минус перед $+x$, получится ошибочная скобка $a-b+2x$.

5. 5

   Записываем ответ и проверяем подстановкой. Собираем всё вместе:

   $(a-b)(a+x)^{m}(b+x)^{n-1}$

   Быстрая проверка: $a=2, b=1, x=1, m=2, n=3$. Исходное: $3^{3}\cdot 2^{2}-3^{2}\cdot 2^{3}=108-72=36$, разложение: $(2-1)\cdot 3^{2}\cdot 2^{2}=36$. Совпадает, значит, разложение верно.