Найдите положительное значение x, при котором отношение x : 45 эквивалентно отношению 20 : x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба отношения в виде дробей. Эквивалентность отношений означает равенство дробей:

   $\frac{x}{45}=\frac{20}{x}.$

2. 2

   Выполним перекрёстное умножение. Неизвестная стоит в числителе и знаменателе, поэтому задача сводится к квадратному уравнению, а не к простому линейному:

   $x\cdot x=45\cdot 20\ \Longrightarrow\ x^{2}=900.$

3. 3

   Извлечём корень и выберем положительный.

   $x=\pm 30,$

   так как требуется положительное значение, берём $x=30$. (Значение $-30$ формально удовлетворяет уравнению, но не подходит для отношения.)

4. 4

   Заметим структуру задачи. $x^{2}=45\times 20$ означает, что $x$ — среднее геометрическое двух крайних членов. Если величина стоит второй в одном отношении и первой в другом равном, она всегда равна среднему геометрическому двух других — полезно заметить, чтобы быстро решать такие задачи через одно умножение и извлечение корня.

5. 5

   Проверим, что оба отношения сокращаются одинаково.

   $30:45=2:3\qquad\text{и}\qquad 20:30=2:3\ \checkmark$

   Они совпадают, значит, $x=30$ найдено верно.