Запишите 9x² − 12xy + 4y² в виде полного квадрата.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, являются ли крайние члены полными квадратами. Трёхчлен можно представить в виде квадрата двучлена только тогда, когда его первый и последний члены — полные квадраты:

   $9x^2=(3x)^2,\qquad 4y^2=(2y)^2$

   Значит, кандидатом будет $(3x\pm 2y)^2$, а знак определяет только средний член.

2. 2

   Сравним средний член с $2ab$. Для $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ при $a=3x$, $b=2y$:

   $2ab=2(3x)(2y)=12xy$

   Данный средний член — $-12xy$, что в точности совпадает с $-2ab$. Именно в этом и состоит основной способ: если бы средний член отличался от $\pm 12xy$, выражение не было бы полным квадратом.

3. 3

   Выберем знак по среднему члену. Поскольку средний член отрицательный, в двучлене ставим минус:

   $9x^2-12xy+4y^2=(3x-2y)^2$

4. 4

   Проверим раскрытием скобок.

   $(3x-2y)^2=(3x)^2-2(3x)(2y)+(2y)^2=9x^2-12xy+4y^2\;\checkmark$

5. 5

   Заметим, что даёт разложение. Так как выражение — полный квадрат, оно неотрицательно при любых вещественных $x,y$, а обращается в ноль только при $3x=2y$. Подставим $x=2$, $y=3$: $9(4)-12(6)+4(9)=36-72+36=0$, и действительно $3(2)=2(3)\;\checkmark$ — числовая проверка множества нулей.