Разделить x³ − 4x² + x + 6 на x + 1 по схеме Горнера, затем разложить кубический многочлен на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим $x+1$ к виду $x-c$. Угловое число в схеме Горнера — это всегда корень делителя, поэтому делитель нужно переписать до начала вычислений:

   $x+1=x-(-1)\;\Longrightarrow\; c=-1$

   Взять здесь $+1$ — самая частая ошибка с делителями такого вида. Страховкой служит теорема Безу: что бы ни выдала таблица, остаток обязан равняться $f(-1)=-1-4-1+6=0$.

2. 2

   Выписываем коэффициенты. В многочлене $x^3-4x^2+x+6$ присутствуют все степени, поэтому верхняя строка такова:

   $1,\;-4,\;1,\;6$

   Знаки держим при коэффициентах, а не при действиях: именно этот учёт знаков схема и берёт на себя.

3. 3

   Умножаем на $-1$ и складываем столбец за столбцом.

   $\begin{array}{r|rrrr}-1 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & -1 & 5 & -6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0\end{array}$

   По шагам: $1\cdot(-1)=-1$ и $-4+(-1)=-5$; затем $-5\cdot(-1)=5$ и $1+5=6$; затем $6\cdot(-1)=-6$ и $6+(-6)=0$. При отрицательном $c$ знаки в средней строке чередуются, и это удобная визуальная проверка.

4. 4

   Считываем частное и остаток. Понижая степень на единицу, из нижней строки $1,-5,6,0$ получаем

   $\text{частное}=x^2-5x+6,\qquad \text{остаток}=0$

   значит $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$.

5. 5

   Раскладываем квадратное частное и доводим до конца. Для $x^2-5x+6$ нужны два числа с произведением $6$ и суммой $-5$, то есть $-2$ и $-3$:

   $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$

   Отсюда полное разложение и корни:

   $x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x-2)(x-3),\qquad x=-1,\,2,\,3$

   Проверим свободный член: $(1)(-2)(-3)=6\;\checkmark$ — совпадает с $+6$ в исходном многочлене.