Разложите (xy − 1)² + (x + y − 2)(x + y − 2xy) на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскроем квадрат. По формуле $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ при $a=xy$, $b=1$:

   $(xy-1)^{2}=x^{2}y^{2}-2xy+1.$

2. 2

   Раскроем произведение скобок по частям. Первую скобку представим как $(x+y)-2$:

   $(x+y)(x+y-2xy)=(x+y)^{2}-2xy(x+y)=x^{2}+2xy+y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2},$

   $-2(x+y-2xy)=-2x-2y+4xy.$

   Складываем эти результаты:

   $x^{2}+y^{2}+6xy-2x^{2}y-2xy^{2}-2x-2y.$

   Шестикратный $xy$ получается из $2xy+4xy$ — важно правильно собрать эти слагаемые.

3. 3

   Сложим обе части. Объединяем с раскрытым квадратом, приводим $xy$ ($-2xy+6xy=4xy$):

   $x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1.$

   Получено девять слагаемых, выражение симметрично при перестановке $x$ и $y$ — это намекает на симметричную факторизацию.

4. 4

   Заметим полный квадрат. Пусть $t=xy-x-y+1$. Возведём в квадрат:

   $t^{2}=x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1-2x^{2}y-2xy^{2}+2xy+2xy-2x-2y=x^{2}y^{2}-2x^{2}y-2xy^{2}+x^{2}+y^{2}+4xy-2x-2y+1,$

   что полностью совпадает с нашим выражением. Значит, вся сумма равна $t^{2}$.

5. 5

   Разложим $t$ и запишем ответ. Группируем: $xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1)$, значит

   $(xy-1)^{2}+(x+y-2)(x+y-2xy)=\left[(x-1)(y-1)\right]^{2}=(x-1)^{2}(y-1)^{2}.$

   Выражение всегда неотрицательно и обращается в ноль только при $x=1$ или $y=1$. Проверка на $(x,y)=(1.8,-0.4)$: обе формы дают $1.2544$ ✓, ещё две случайные пары совпадают до девятого знака.