Девять углов трёх треугольников равны n1, n2, ..., n9 градусов; это натуральные числа, образующие арифметическую прогрессию с положительной разностью. Один из углов равен 78 градусам. Найдите сумму всех возможных значений n1.

Step-by-step solution

1. 1

   По общей сумме углов находим средний член. Три треугольника дают в сумме $3\times 180=540$ градусов. Для арифметической прогрессии из девяти членов сумма равна девятикратному среднему члену:

   $\sum_{i=1}^{9}n_i=9n_5=540\quad\Longrightarrow\quad n_5=60.$

   Значит, какой бы ни была разность $d$, прогрессия симметрична относительно $60$: $n_i=60+(i-5)d$.

2. 2

   Переводим условие про 78 градусов в условие делимости. Если $n_k=78$, то

   $60+(k-5)d=78\quad\Longrightarrow\quad (k-5)d=18.$

   Так как $d>0$, необходимо $k>5$, поэтому $k-5\in\{1,2,3,4\}$, и $d=\dfrac{18}{k-5}$ должно быть натуральным числом. Делят $18$ только $k-5=1,2,3$, что даёт

   $d=18,\ 9,\ 6.$

3. 3

   Отбрасываем случай, при котором угол становится неположительным. Первый член равен $n_1=60-4d$:

   $d=18\Rightarrow n_1=-12\ (\text{отбрасываем}),\qquad d=9\Rightarrow n_1=24,\qquad d=6\Rightarrow n_1=36.$

   Наибольшие члены равны $n_9=60+4d$, то есть $96$ и $84$ — оба меньше $180$, так что все углы допустимы для треугольника.

4. 4

   Убеждаемся, что девять углов действительно можно разбить на три треугольника. В записи $n_i=60+(i-5)d$ отклонения равны $-4,-3,\ldots,4$. Разбиение $\{-4,0,4\}$, $\{-3,1,2\}$ и $\{-2,-1,3\}$ даёт в каждой группе нулевую сумму отклонений, поэтому каждая тройка углов в сумме равна $3\times 60=180$. Такое разбиение существует при любом $d$, так что это условие ничего нового не ограничивает.

5. 5

   Проверяем обе уцелевшие прогрессии.

   $d=6:\ 36,42,48,54,60,66,72,\mathbf{78},84$
   $d=9:\ 24,33,42,51,60,69,\mathbf{78},87,96$

   В обеих есть $78$, обе строго возрастают и состоят из натуральных чисел.

6. 6

   Складываем возможные первые члены.

   $24+36=60.$

   Полный перебор всех допустимых разностей подтверждает, что других случаев нет.