Упростить (a-b)/(a+b+2√ab) · (√a+√b)/(√a-√b).

Step-by-step solution

1. 1

   Введём замену переменных $\sqrt a$ и $\sqrt b$. Все части выражения удобно записать через $u=\sqrt a$ и $v=\sqrt b$. Тогда исходное выражение примет вид:

   $\frac{u^2-v^2}{u^2+v^2+2uv}\cdot\frac{u+v}{u-v}$

   Теперь радикалы исчезли, и выражение свелось к стандартным алгебраическим тождествам.

2. 2

   Разложим числитель как разность квадратов.

   $a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)$

3. 3

   Рассмотрим знаменатель как полный квадрат. Выражение $u^2+2uv+v^2$ — это

   $a+b+2\sqrt{ab}=(\sqrt a+\sqrt b)^2$

   Слагаемое $2\sqrt{ab}=2\sqrt a\sqrt b$ — это ровно тот самый $2uv$, который завершает формулу квадрата суммы. Узнать этот шаблон — ключевой момент задачи.

4. 4

   Подставим найденные разложения.

   $\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)^2}\cdot\frac{\sqrt a+\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b}$

5. 5

   Выполним сокращения. Фактор $\sqrt a-\sqrt b$ встречается один раз в числителе и один раз в знаменателе; $\sqrt a+\sqrt b$ — дважды в числителе и дважды в знаменателе. Всё сокращается, остаётся

   $1$

   Сокращения корректны, так как $a\neq b$ (значит, $\sqrt a-\sqrt b\neq0$), а $a,b>0$ (значит, $\sqrt a+\sqrt b>0$).

6. 6

   Проверим на числовых примерах. При $a=4, b=9$: $\tfrac{-5}{4+9+12}\cdot\tfrac{2+3}{2-3}=\tfrac{-5}{25}\cdot(-5)=1$ ✓. При $a=2{,}5, b=7{,}3$ прямой подсчёт на калькуляторе также даёт $1{,}000000$ ✓.