Упростить (6x − 6) / (12x² + x(x² − 2x + 1)).

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем множитель в числителе. Оба слагаемых делятся на $6$:

   $6x-6=6(x-1)$

   Наличие $(x-1)$ в числителе наводит на мысль о возможном сокращении — дальнейшие вычисления покажут, возможно ли это.

2. 2

   Вынесем общий множитель $x$ в знаменателе. Квадрат разности $x^2-2x+1=(x-1)^2$, поэтому

   $12x^{2}+x(x-1)^{2}=x\left[12x+(x-1)^{2}\right]$

   Здесь общий множитель — именно $x$, а не $x^2$, поскольку во втором слагаемом только одна степень $x$.

3. 3

   Раскроем скобки и приведём подобные в знаменателе. Этот шаг определяет окончательный вид дроби:

   $12x+(x-1)^{2}=12x+x^{2}-2x+1=x^{2}+10x+1$

   $(x-1)^2$ не остаётся множителем после сложения с $12x$.

4. 4

   Соберём дробь и проверим наличие общих множителей.

   $\frac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}$

   Проверим, делится ли $x^2+10x+1$ на $(x-1)$. Подставим $x=1$: $1+10+1=12\neq 0$, значит, по теореме Безу $(x-1)$ не является делителем. Сокращения нет.

5. 5

   Запишем окончательный ответ.

   $\boxed{\dfrac{6(x-1)}{x\left(x^{2}+10x+1\right)}}$

   Дробь определена при $x\neq 0$ и $x\neq -5\pm 2\sqrt6$ (корни $x^2+10x+1$).

6. 6

   Проверим численно. При $x=3$ исходная дробь: $\dfrac{12}{108+3(4)}=\dfrac{12}{120}=0{,}1$, а упрощённая: $\dfrac{6(2)}{3(9+30+1)}=\dfrac{12}{120}=0{,}1$. Значения совпадают, значит, преобразования корректны.