Решите неравенство −(1/3)(x − 7) ≥ (1/2)(3x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Избавляемся от обоих знаменателей одним действием. Знаменатели равны $3$ и $2$, поэтому умножаем каждое слагаемое на их НОК $6$. Так как $6>0$, знак неравенства не меняется — это безопасный способ убрать дроби:

   $6\cdot\left[-\frac13(x-7)\right]\ge6\cdot\left[\frac12(3x+1)\right]$

   $-2(x-7)\ge3(3x+1)$

2. 2

   Раскрываем скобки в обеих частях.

   $-2x+14\ge9x+3$

   Множитель $-2$ умножается на оба слагаемых в скобке, поэтому $-7$ превращается в $+14$.

3. 3

   Собираем переменную в одной части. Вычитаем $9x$ из обеих частей (сложение и вычитание знак неравенства не меняют):

   $-11x+14\ge3$

   затем вычитаем $14$:

   $-11x\ge-11$

4. 4

   Делим на отрицательный коэффициент и меняем знак. Деление обеих частей на $-11$ разворачивает неравенство:

   $x\le1$

   В этой единственной смене знака и состоит вся ловушка задачи; если оставить $\ge$, получится ровно противоположная полупрямая.

5. 5

   Проверяем по точке слева и справа от границы. При $x=1$: слева $=-\tfrac13(-6)=2$, справа $=\tfrac12(4)=2$, то есть выполняется равенство ✓ (граничная точка входит в ответ). При $x=0$: слева $=\tfrac73\approx2.33$, справа $=0.5$, и $2.33\ge0.5$ верно ✓. При $x=2$: слева $=\tfrac53\approx1.67$, справа $=3.5$, и $1.67\ge3.5$ неверно ✓. Множество решений — $(-\infty,1]$.