Выполнить деление и упростить: (y² − 81) разделить на дробь (y² + 4y − 45)/(y² + 9).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала превращаем деление в умножение. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь, поэтому переворачиваем второе выражение прежде, чем что-либо трогать. Попытка сократить «через знак деления» — самая частая ошибка в задачах такого типа:

   $\left(y^{2}-81\right)\div\frac{y^{2}+4y-45}{y^{2}+9}=\left(y^{2}-81\right)\cdot\frac{y^{2}+9}{y^{2}+4y-45}$

2. 2

   Раскладываем каждый многочлен на множители до конца. Сокращать можно только множители, поэтому ничего не упростится, пока каждый кусок не станет произведением. Первый многочлен — разность квадратов, а трёхчлен раскладывается по паре чисел с произведением $-45$ и суммой $4$, то есть $9$ и $-5$:

   $y^{2}-81=(y-9)(y+9),\qquad y^{2}+4y-45=(y+9)(y-5)$

   Заметим, что $y^{2}+9$ — это сумма квадратов: над действительными числами она не раскладывается и остаётся как есть.

3. 3

   Собираем одну дробь. Ставим разложенный числитель над разложенным знаменателем:

   $\frac{(y-9)(y+9)\left(y^{2}+9\right)}{(y+9)(y-5)}$

4. 4

   Сокращаем общий множитель и выписываем ограничения. Множитель $(y+9)$ стоит и сверху, и снизу, поэтому он сокращается:

   $\frac{(y-9)\left(y^{2}+9\right)}{y-5}$

   Сокращение законно лишь там, где $y+9\neq 0$, а оставшийся знаменатель запрещает $y=5$, так что упрощённая форма верна при $y\neq -9$ и $y\neq 5$.

5. 5

   Проверяем результат подстановкой числа. При $y=2$ исходное выражение равно $(4-81)\div\dfrac{4+8-45}{4+9}=(-77)\cdot\dfrac{13}{-33}=\dfrac{1001}{33}$, а упрощённое даёт $\dfrac{(2-9)(4+9)}{2-5}=\dfrac{-91}{-3}=\dfrac{91}{3}=\dfrac{1001}{33}$. Значения совпали — преобразования выполнены верно.