Решите неравенство x² − 2x + 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем полный квадрат, не хватаясь сразу за формулу корней. Формула $a^2-2ab+b^2$ при $a=x$, $b=1$ даёт

   $x^2-2x+1=(x-1)^2$

   Дискриминант это подтверждает: $\Delta=4-4=0$ — верный признак кратного корня.

2. 2

   Переписываем неравенство.

   $(x-1)^2>0$

3. 3

   Пользуемся тем, что квадрат никогда не бывает отрицательным. Всегда $(x-1)^2\ge 0$, причём равенство достигается ровно при $x-1=0$. Значит, строгое неравенство выполняется везде, кроме этого единственного значения:

   $x\neq 1$

4. 4

   Записываем ответ объединением двух промежутков.

   $(-\infty,1)\cup(1,\infty)$

   Проверка при $x=1$: $1-2+1=0$, что не $>0$ $\checkmark$. При $x=0$: $1>0$ $\checkmark$. При $x=1.01$: $0.0001>0$ $\checkmark$. Обратите внимание, как ответ зависит от знака: при $\ge 0$ подходят все действительные числа, при $<0$ решений нет, а при $\le 0$ остаётся только $\{1\}$.