Выполнить вычитание и упростить: (6x + 5)/(x² − 8x + 12) − 6/(x − 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскладываем каждый знаменатель на множители. Никогда не ищите общий знаменатель до разложения: второй знаменатель обычно уже является множителем первого, как и здесь:

   $x^{2}-8x+12=(x-2)(x-6),$

   ведь $(-2)+(-6)=-8$ и $(-2)(-6)=12$.

2. 2

   Выписываем наименьший общий знаменатель. Знаменатели равны $(x-2)(x-6)$ и $(x-2)$, поэтому общий знаменатель — это просто $(x-2)(x-6)$: первый знаменатель им уже и является. Домножить нужно только вторую дробь, на недостающий множитель $(x-6)$:

   $\frac{6}{x-2}=\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

3. 3

   Вычитаем над общим знаменателем, не теряя скобок.

   $\frac{6x+5}{(x-2)(x-6)}-\frac{6(x-6)}{(x-2)(x-6)}=\frac{(6x+5)-6(x-6)}{(x-2)(x-6)}.$

4. 4

   Аккуратно раскрываем числитель. Минус умножает оба слагаемых выражения $6(x-6)$:

   $(6x+5)-(6x-36)=6x+5-6x+36=41.$

   Слагаемые с $6x$ сокращаются, остаётся чистая константа — верный признак того, что задача и была составлена ради такого финала.

5. 5

   Записываем упрощённый результат и указываем ограничения.

   $\frac{41}{(x-2)(x-6)}=\frac{41}{x^{2}-8x+12},\qquad x\neq 2,\ x\neq 6.$

   Так как $41$ — простое число и не имеет общих множителей ни с одной скобкой, упрощать дальше нечего.

6. 6

   Проверяем на конкретном значении. При $x=3$ исходное выражение равно $\frac{23}{9-24+12}-\frac{6}{1}=\frac{23}{-3}-6=-\frac{41}{3}$, а ответ даёт $\frac{41}{(1)(-3)}=-\frac{41}{3}$. Совпадает.