Вычислить произведение квадратного корня из −19 на квадратный корень из −19.

Step-by-step solution

1. 1

   Правило произведения корней здесь применять нельзя. Тождество $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ верно только при $a,b\ge0$. Применив его бездумно, получим $\sqrt{(-19)(-19)}=\sqrt{361}=19$ — неверный знак и классическая ловушка этой задачи.

2. 2

   Сначала переходим к мнимой единице. Главное значение квадратного корня из отрицательного числа определяется через $i=\sqrt{-1}$:

   $\sqrt{-19}=i\sqrt{19}$

   Как только все подкоренные выражения стали неотрицательными, обычная алгебра снова безопасна.

3. 3

   Перемножаем полученные выражения.

   $\left(i\sqrt{19}\right)\left(i\sqrt{19}\right)=i^{2}\left(\sqrt{19}\right)^{2}=i^{2}\cdot 19$

4. 4

   Пользуемся тем, что $i^2=-1$.

   $i^{2}\cdot 19=-1\cdot 19=-19$

5. 5

   Подтверждаем определением квадратного корня. Для любого числа $z$ по определению $\left(\sqrt z\right)^2=z$, поэтому $\left(\sqrt{-19}\right)^2$ обязано равняться $-19$. Это совпадает с полученным результатом и показывает, почему $+19$ не могло быть верным ✓. Численная проверка при $\sqrt{19}=4.3589$: $(4.3589i)^2=-19.000$ ✓.