Застряли на этом? Решите с помощью ИИ
Algebra · real student question

Решите систему: (1/3)x + (1/3)y = −1; −1/3 + y − (1/2)z = −w; (5/6)z − (1/2)y = w; x = 30 + z.

Question

Найти xx, yy, zz и ww:

13x+13y=−1,−13+y−12z=−w,\frac13x+\frac13y=-1,\qquad -\frac13+y-\frac12z=-w,
56z−12y=w,x=30+z.\frac56z-\frac12y=w,\qquad x=30+z.

(Обратите внимание: во втором уравнении первым стоит свободный член −13-\tfrac13, а не −13x-\tfrac13x.)

Step-by-step solution

  1. Умножим первое уравнение и выразим xx через zz. Умножая первое уравнение на 33, получаем:

    x+y=−3.x+y=-3.

    Подставим x=30+zx=30+z, тогда 30+z+y=−330+z+y=-3, откуда

    y+z=−33⟹y=−33−z.y+z=-33\quad\Longrightarrow\quad y=-33-z.

    Важно внимательно читать второе уравнение: первым идёт свободный член −13-\tfrac13, поэтому xx встречается только в двух из четырёх уравнений.

  2. Выразим ww двумя способами. Умножим второе уравнение на −1-1:

    w=13−y+12z,w=\frac13-y+\frac12z,

    а третье уравнение даёт напрямую

    w=56z−12y.w=\frac56z-\frac12y.

  3. Приравняем выражения для ww и избавимся от знаменателей. Приравниваем правые части и умножаем на 66:

    2−6y+3z=5z−3y  ⟹  2−3y−2z=0  ⟹  3y+2z=2.2-6y+3z=5z-3y\;\Longrightarrow\;2-3y-2z=0\;\Longrightarrow\;3y+2z=2.

  4. Подставим y=−33−zy=-33-z и найдём zz.

    3(−33−z)+2z=2  ⟹  −99−z=2  ⟹  z=−101.3(-33-z)+2z=2\;\Longrightarrow\;-99-z=2\;\Longrightarrow\;z=-101.

    Тогда y=−33−(−101)=68y=-33-(-101)=68, а x=30+z=−71x=30+z=-71.

  5. Восстановим ww и проверим все четыре уравнения.

    w=56(−101)−12(68)=−5056−34=−7096.w=\frac56(-101)-\frac12(68)=-\frac{505}{6}-34=-\frac{709}{6}.

    Проверка: 13(−71)+13(68)=−1\tfrac13(-71)+\tfrac13(68)=-1 ✓; −13+68−12(−101)=7096=−w-\tfrac13+68-\tfrac12(-101)=\tfrac{709}{6}=-w ✓; 56(−101)−12(68)=−7096=w\tfrac56(-101)-\tfrac12(68)=-\tfrac{709}{6}=w ✓; 30+(−101)=−71=x30+(-101)=-71=x ✓.

Answer

x=−71,y=68,z=−101,w=−7096x=-71,\quad y=68,\quad z=-101,\quad w=-\frac{709}{6}

Need to solve a different problem like this? Open the solver →

Related questions