Решить 8x⁴ - 6x³ + 30x² - 18x + 18 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Безусловно вынесем общий числовой множитель. Все коэффициенты чётные:

   $8x^{4}-6x^{3}+30x^{2}-18x+18=2\left(4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9\right)$

   Так как $2\neq 0$, уравнение эквивалентно $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=0$. Меньшие коэффициенты упростят дальнейшие вычисления.

2. 2

   Проверим отсутствие рациональных корней. Возможные значения — $\pm\frac{p}{q}$, где $p\mid 9$, $q\mid 4$. Все коэффициенты чередуются так, что подстановка любого положительного или отрицательного кандидата даёт положительное значение, то есть линейного множителя над рациональными нет. Следовательно, пробуем разложить на два квадратных множителя.

3. 3

   Составим разложение с неопределёнными коэффициентами:

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}+bx+3\right)\left(x^{2}+ex+3\right)$

   Свободные члены выбраны как $3$ и $3$, поскольку их произведение должно быть $9$. Раскрывая скобки, получаем:

   $4x^{4}+(4e+b)x^{3}+(be+15)x^{2}+3(b+e)x+9$

4. 4

   Приравняем коэффициенты и решим систему. Сравнивая с исходным многочленом:

   $4e+b=-3,\qquad be+15=15,\qquad 3(b+e)=-9$

   Среднее уравнение даёт $be=0$, то есть $b=0$ или $e=0$. Если $e=0$, то из третьего уравнения $b=-3$, и первое также выполняется: $4e+(-3)=-3$. Значит,

   $4x^{4}-3x^{3}+15x^{2}-9x+9=\left(4x^{2}-3x+3\right)\left(x^{2}+3\right)$

5. 5

   Решим первое квадратное уравнение. Для $4x^{2}-3x+3=0$ дискриминант равен

   $(-3)^{2}-4(4)(3)=9-48=-39<0$

   Следовательно,

   $x=\frac{3\pm i\sqrt{39}}{8}$

6. 6

   Решим второе квадратное и делаем вывод. $x^{2}+3=0$ даёт $x=\pm i\sqrt3$. Все четыре корня — невещественные, значит, биквадратное уравнение не имеет вещественных решений — это согласуется с графиком, который всегда выше оси (минимальное значение положительно). Перемножая оба множителя и умножая на 2, получаем исходный многочлен $8x^4-6x^3+30x^2-18x+18$ ✓.