Опишите и постройте область решений 3|x| + 4|y| ≤ 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала используем двойную симметрию. При замене $x$ на $-x$ или $y$ на $-y$ выражение $3|x|+4|y|$ не изменяется, поэтому область симметрична относительно обоих координатных осей. Значит, достаточно рассмотреть только первую четверть и затем отразить результат дважды.

2. 2

   Находим точки пересечения с осью $x$. Подставим $y=0$:

   $3|x|\le 12\;\Longrightarrow\;|x|\le 4\;\Longrightarrow\;-4\le x\le 4$

   — значит, граница пересекает ось $x$ в точках $(\pm 4,0)$.

3. 3

   Находим точки пересечения с осью $y$. Подставим $x=0$:

   $4|y|\le 12\;\Longrightarrow\;|y|\le 3\;\Longrightarrow\;-3\le y\le 3$

   — получаем $(0,\pm 3)$.

4. 4

   Рассматриваем границу как четыре отрезка. В первой четверти равенство $3x+4y=12$ задаёт прямую, а симметрия переносит её в остальные три четверти. Четыре прямых отрезка, соединяющих $(4,0)$, $(0,3)$, $(-4,0)$, $(0,-3)$, образуют ромб (или правильный четырёхугольник), центрированный в начале координат — именно модули превращают эллипс в фигуру с прямыми рёбрами.

5. 5

   Определяем, какую часть заштриховать. Проверим начало координат: $3|0|+4|0|=0\le 12$ $\checkmark$, значит, точка $(0,0)$ входит в область, и решение — внутренняя часть ромба. Неравенство нестрогое, поэтому все четыре стороны рисуются сплошными линиями и тоже входят в решение.

6. 6

   Проверяем точку на границе и вне области. $(2,\tfrac32)$: $6+6=12\le 12$ $\checkmark$ — точка лежит на границе. $(4,1)$: $12+4=16\not\le 12$ $\checkmark$ — точка действительно вне области.