Решите уравнение 2x + 2λx + μ = 0 относительно x, считая λ и μ параметрами.

Step-by-step solution

1. 1

   Собираем слагаемые с $x$ и выносим общий множитель. И $2x$, и $2\lambda x$ содержат $x$ в первой степени, поэтому их можно объединить:

   $2x+2\lambda x=2x(1+\lambda)$

   и уравнение принимает вид

   $2x(1+\lambda)+\mu=0$

   В этом и весь смысл: коэффициент при $x$ стал одной наглядной величиной $2(1+\lambda)$, и всё дальнейшее зависит от того, обращается она в нуль или нет.

2. 2

   Разбираем основной случай $\lambda\neq -1$. Тогда $2(1+\lambda)\neq 0$ и делить можно:

   $2x(1+\lambda)=-\mu\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}$

   Решение ровно одно. Например, при $\lambda=3,\ \mu=5$ получаем $x=-\frac{5}{8}$, и действительно $2(-0.625)+6(-0.625)+5=0$.

3. 3

   Разбираем вырожденный случай $\lambda=-1$. Теперь $1+\lambda=0$, слагаемое с $x$ исчезает полностью, и уравнение сводится к числовому утверждению

   $\mu=0$

   Делить здесь уже не на что, поэтому оба подслучая приходится читать напрямую.

4. 4

   Делим вырожденный случай надвое. Если $\lambda=-1$ и $\mu=0$, уравнение превращается в $0=0$: оно верно при любом действительном $x$, поэтому множество решений — вся $\mathbb{R}$, то есть перед нами тождество, а не уравнение с одним корнем. Если же $\lambda=-1$ и $\mu\neq 0$, уравнение утверждает $\mu=0$ при $\mu\neq 0$ — противоречие, и множество решений пусто.

5. 5

   Сводим всё в три случая. Любое линейное уравнение $Ax+B=0$ разбивается именно так, а здесь $A=2(1+\lambda)$, $B=\mu$:

   $\lambda\neq-1:\quad x=\frac{-\mu}{2(1+\lambda)}\ \text{(единственное)}$

   $\lambda=-1,\ \mu=0:\quad x\in\mathbb{R}\ \text{(бесконечно много)}$

   $\lambda=-1,\ \mu\neq0:\quad \text{решений нет}$

   Пропуск разбора случаев — типичная ошибка: деление на $1+\lambda$ без проверки его отличия от нуля молча выбрасывает две последние возможности.