Решите относительно x: 0,8x + (10000 − x)(0,21) = 10000(0,25). Дайте точное значение обыкновенной дробью и десятичной.

Step-by-step solution

1. 1

   Разберём структуру: перед нами уравнение на средневзвешенное (задача на смеси). Количество $x$ с долей $0.8$ смешивают с остатком $10000-x$, имеющим долю $0.21$, и по всем $10000$ единицам смесь должна дать в среднем $0.25$. Понимание этой структуры заранее подсказывает, что ответ обязан лежать между $0$ и $10000$ и быть ближе к $0$, ведь $0.25$ гораздо ближе к $0.21$, чем к $0.8$.

2. 2

   Вычислим правую часть и раскроем скобки слева. Сначала $10000\times 0.25=2500$. Затем

   $0.21(10000-x)=2100-0.21x,$

   так что уравнение принимает вид

   $0.8x+2100-0.21x=2500.$

   Внимания требует именно распределение множителя на всю скобку, включая $-x$.

3. 3

   Приведём подобные слагаемые. Два слагаемых с $x$ объединяются:

   $0.8x-0.21x=0.59x,$

   и остаётся

   $0.59x+2100=2500.$

   Коэффициент $0.59$ — это разброс между двумя долями, $0.80-0.21$, что служит удобной проверкой вычислений.

4. 4

   Выразим $x$ и сохраним точное значение. Вычитая $2100$, получаем $0.59x=400$, а затем делим:

   $x=\frac{400}{0.59}=\frac{40000}{59}\approx 677.966.$

   Умножение числителя и знаменателя на $100$ превращает деление на десятичную дробь в точную обыкновенную; дробь $40000/59$ несократима, поскольку $59$ простое и не делит $40000$.

5. 5

   Проверим состав смеси. При $x=\tfrac{40000}{59}$ вторая часть равна $10000-\tfrac{40000}{59}=\tfrac{550000}{59}$, и

   $0.8\cdot\frac{40000}{59}+0.21\cdot\frac{550000}{59}=\frac{32000+115500}{59}=\frac{147500}{59}=2500 ✓.$

   Ответ проходит и прикидку из первого шага: $678$ — небольшая доля от $10000$, как и ожидалось.