Два числа x и y таковы, что сумма 4% от x и 5% от y равна двум третям суммы 5% от x и 8% от y. Найдите отношение x : y.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем условие через переменные. «$p\%$ от $x$» означает $\tfrac{p}{100}x$, поэтому условие принимает вид:

   $\frac{4}{100}x+\frac{5}{100}y=\frac{2}{3}\left(\frac{5}{100}x+\frac{8}{100}y\right)$

   Одно уравнение с двумя неизвестными не позволяет найти $x$ и $y$ отдельно, но определяет их отношение — именно это и требуется.

2. 2

   Избавимся от сотых долей. Во всех слагаемых есть множитель $\tfrac{1}{100}$, поэтому умножим обе части уравнения на $100$:

   $4x+5y=\frac{2}{3}(5x+8y)$

3. 3

   Устраним дробь. Умножим обе части на $3$:

   $3(4x+5y)=2(5x+8y)\quad\Longrightarrow\quad 12x+15y=10x+16y$

4. 4

   Соберём переменные по разным сторонам.

   $12x-10x=16y-15y\quad\Longrightarrow\quad 2x=y$

5. 5

   Переведём в отношение. Из $2x=y$ следует:

   $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad x:y=1:2$

   $\boxed{1:2}$

6. 6

   Проверим на конкретных числах. Подставим $x=1$, $y=2$: левая часть $0.04(1)+0.05(2)=0.14$, правая $\tfrac23\big(0.05(1)+0.08(2)\big)=\tfrac23(0.21)=0.14$. Любая пара с отношением $1:2$, например $x=50$, $y=100$, также подходит — уравнение однородное, важна только пропорция.