Два велосипедиста проезжают по 120 км. Первый едет на 3 км/ч быстрее второго и тратит на 2 часа меньше. Найти скорость каждого.

Step-by-step solution

1. 1

   Составляем таблицу с одним неизвестным. Пусть $x$ — скорость второго велосипедиста в км/ч; тогда первый едет со скоростью $x+3$. Время равно пути, делённому на скорость:

   велосипедист	скорость (км/ч)	путь (км)	время (ч)
   второй	$x$	$120$	$\dfrac{120}{x}$
   первый	$x+3$	$120$	$\dfrac{120}{x+3}$

   По смыслу задачи $x>0$, и большее время — у более медленного велосипедиста.

2. 2

   Переводим разницу во времени в уравнение. Первый велосипедист тратит на $2$ часа меньше, поэтому вычитаем меньшее время из большего:

   $\frac{120}{x}-\frac{120}{x+3}=2$

3. 3

   Избавляемся от знаменателей. Умножим обе части на $x(x+3)$, что при $x>0$ отлично от нуля:

   $120(x+3)-120x=2x(x+3)$

   Левая часть схлопывается, потому что слагаемые $120x$ взаимно уничтожаются:

   $360=2x^{2}+6x$

4. 4

   Приводим к стандартному виду квадратного уравнения. Разделим на $2$ и перенесём всё в одну сторону:

   $x^{2}+3x-180=0$

5. 5

   Решаем и отбрасываем посторонний корень. Дискриминант равен $D=3^{2}+4(180)=729$, откуда $\sqrt{D}=27$, поэтому

   $x=\frac{-3\pm 27}{2}\ \Longrightarrow\ x=12\ \text{или}\ x=-15$

   Отрицательная скорость здесь бессмысленна, значит $x=12$, а первый велосипедист едет со скоростью $x+3=15$ км/ч.

6. 6

   Проверяем по исходной формулировке. Времена равны $\dfrac{120}{12}=10$ ч и $\dfrac{120}{15}=8$ ч. Разница скоростей равна $15-12=3$ км/ч ✓, а разница времён — $10-8=2$ ч ✓.